正文
课本编写和实际学习之间存在一些矛盾，其中之一便是：
数学课本上，同样的知识只能写一遍；但是实际学习中，应该在合适的时机重温学过的知识，以加深理解。
比如学习交换律、结合律、分配律等运算定律之时，就是重温乘法含义的合适时机：
一
自然数的乘法，可以理解成反复做加法，这是乘法最初的含义。依照这个定义，两个乘数存在地位上的不同，因此不能颠倒顺序。
至于到底写成 2×3 还是 3×2，取决于书写顺序是如何规定的。比如 2+2+2，在中国旧教材中写成 2×3，而在美国教材中写成 3×2。但无论如何，只要约定了一种书写顺序，然后颠倒两乘数顺序，式子的含义就发生了变化。
二
随着进一步学习，我们用字母表示数，从而进入了代数学。在代数计算中，我们利用的是交换律、结合律、分配律等运算定律，而不是具体的运算算法。比如单项式的合并同类项中，首先用交换律把相同幂次的字母移动到一起，再用结合律添括号，再用分配律提出系数，整个过程中没有出现任何具体的数的乘法。
因此我们可以逐渐忽略乘法的实际含义，把乘法看成一种更抽象的运算。这种运算满足交换律、结合律、分配律等运算定律。
我们分析这些运算定律，发现两个乘数是对称的，即交换两乘数后的式子与原式恒等，因此两乘数的地位相同。这便与之前的认知产生差异。由于代数运算的应用越来越普遍，人们便越来越倾向于忽略两乘数地位的不同。
三
在抽象代数中，我们完全忽略乘法的具体算法，而认为乘法是满足若干性质的运算。从而达到“目中无数”的抽象境界。
此时，乘法中两乘数的地位完全相同，毫无区别。
可见，乘法的含义，随着认知的深入而不断变化。而两乘数的地位，变得越来越接近，直至完全相同。那么，对文章中问题的回答，也产生了变化。
而目前的教材，乃至教学中，还是在追求一步到位，有意减少对已有知识的修正。我认为这种思想是不可取的。学习的过程，除了学习新知之外，便是对已有知识的重构乃至推翻重来。在科学史上，新理论推翻旧理论恰恰是最值得反思和回味的，而我们的教育却刻意避免之。这是一种遗憾。
多次教育改革的尝试，都只是对若干具体问题寻求更好的答案，而不是对教育思想的改革。如果人们还是坚持认为，同一个问题在任何情况下，都只能有一个正确答案，那么教育改革就永远无法令人彻底满意。
学习重在重温，改革重在思想。
发布信息
本文初次发布于：2025 年 7 月 2 日，最后修改于：2025 年 8 月 13 日。
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