伍鸿熙《数学家讲解小学数学》读书笔记（1）——前言和致读者

1 前言

1.1 主要内容

本书的主要内容是：小学数学中的数和运算．

1.2 读者对象

本书的读者对象是：小学数学教师．

1.3 特点

1. 简洁：因为成人的注意力时间更长，并且熟练程度更高；
2. 合乎逻辑；
3. （小心地、循序渐进地）利用符号语言；
4. 讨论一些初中课题：数学教师所知道的知识应该超过他所教课程的水平．

1.4 数学家如何理解数学

• 理解一个概念，意味着理解它的：
  1. 准确定义，
  2. 直观内容，
  3. 为何需要它，
  4. 在什么情况下发挥作用；
• 理解一个技巧（或定理），意味着理解它的：
  1. 操作方法，
  2. 使用条件，
  3. 证明方法，
  4. 发现动机，
  5. 灵活运用．

1.5 本书的连贯性

本书全面、系统地展示了自然数、分数和有理数的数学发展过程，不违背学习规律，符合逻辑．

1.5.1 一些反面例子

中小学数学教科书中出现了离谱的语言．例如：

1. 利用分数乘法解释等价分数定理；
2. 分数及其运算与自然数及其运算毫无关系；
3. 十进制小数与分数有较大区别．

1.5.2 本书的处理方法

1. 利用长除法把分数转化为小数的方法就是分数乘法公式的推论；
2. 等价分数定理在理解分数的过程中具有重要作用；
3. 四则运算从自然数到分数、有理数、实数的演化过程是连贯的．

1.5.3 不连贯的数学是数学界与教育界长期分离的结果

1. 有些数学家认为教育是个无底洞；
2. 有些数学家认为中小学数学微不足道：“没有什么音乐是粗俗的，除非演奏者的演奏方式使它听起来粗俗．”

1.6 本书的目的

1. 为数学教育者的研究提供一个更扎实的起点；
2. 为教科书出版社提供一些资源．

2 致读者

2.1 如何阅读这本书

“在所有的课程中，现代教育的一个主要‘罪行’是不要求学生们付出艰辛的努力．”读这本书就是要付出艰辛的努力．但是只要努力，基本上就能掌握本书的一切知识．

2.1.1 数学恐惧症

产生数学恐惧症的原因可能是，在你还没有充分准备好或理解好数学的情况下，（教师）就多次要求你做数学题，并且只要按照规定好的步骤去做即可，之后就任由你自生自灭．

2.2 你可以学到这些

2.2.1 体会到数学内在的精确性

例如，本书首先给出分数乘法的精确含义，进而用这个定义连同逻辑推理一起解释乘法运算步骤的正确性，并说明为什么这样做有助于解决问题．

普通的教科书在引入概念或技巧时一般不给出定义，而是通过在各种背景下给出各种例子来做示范．这种教法是无效的．¹

2.2.2 强调精确定义的重要性

例如，把有理数 \(\dfrac ab\) 定义为方程 \(bx = a\) 的解，但接下来完全忽略了定义．这样教育的结果，就是使学生感觉定义是多余的．²

再例如，分数的概念没有直接给出，而是把它的不同面貌³逐个展现出来．用这种方法来定义分数是不合适的，因为它让学生停留在不知道自己学的是什么东西的可怕状态．如果他们知道自己所学的东西会在几天或几周以后被修正，那怎么能指望他们掌握分数的概念呢？

本书把定义放到在数学中应有的位置上，即作为推理和讨论的基础．

例如，本书在一开始就定义了分数：数轴上一个确定集合里的点．以后的每一个阐述都使用了定义．不管讨论什么问题，学生都能明确地知道自己的立足点所在，他所要学会的知识完全包含在定义中．

2.2.3 强调推理证明

刚开始阅读的时候，你可能会被众多的“为什么”搞得头昏脑胀．但是只要努力，你就会习惯并开始赞叹，把推理作为你的一项基本技能是多么珍贵的宝藏．

2.2.4 强调数学结构

数学概念和定理有一定的逻辑顺序，不可颠倒．简而言之，要用简单的概念解释复杂的概念，而不是相反．

发布信息

本文初次发布于：2025 年 1 月 20 日，最后修改于：2025 年 8 月 12 日。

文章链接：

1. Rosa Thomas Chen 的博客
2. 知乎